如何求出 $e^x$ 在 $x=0$ 处二次近似的 $c_0$、$c_1$ 和 $c_2$？

适用条件

• 近似以 $x=0$ 为中心。
• 目标函数是 $e^x$。
• 近似多项式是 $c_0+c_1x+c_2x^2$。

理解与推导

1. 在 $x=0$ 处匹配函数值：$c_0+c_1(0)+c_2(0)^2=e^0=1$，化简得 $c_0=1$。
2. 对两边求导以匹配斜率：$d/dx(e^x)=e^x$ 且 $d/dx(1+c_1x+c_2x^2)=c_1+2c_2x$。
3. 在 $x=0$ 处求导数等式的值：$e^0=c_1+2c_2(0)$，化简得 $c_1=1$。
4. 再次求导以匹配凹凸性：$d^2/dx^2(e^x)=e^x$ 且 $d^2/dx^2(1+1x+c_2x^2)=2c_2$。
5. 在 $x=0$ 处求二阶导数等式的值：$e^0=2c_2$，化简得 $1=2c_2$，所以 $c_2=1/2$。
6. 将系数代回得到 $e^x$ ≈ $1+x+1/2x^2$。

例子

黑板显示了从 $e^x$≈$c_0+c_1x+c_2x^2$ 到 $1+c_1x+c_2x^2$，然后是 $1+1x+c_2x^2$，最后是 $1+x+1/2x^2$ 的序列。演讲者明确地代入 $x=0$，求导，再次代入零，再次求导，并代入找到的系数。

容易误解的地方

• 在求导之前代入 $x=0$，这会抹去确定更高阶系数所需的信息。
• 在为 $c_1$ 和 $c_2$ 建立方程时，混淆一阶导数（斜率）和二阶导数（凹凸性）。

观看对应讲解

继续追问

• $e^x$ 在 0 处的二次近似是什么？
• 为什么视频使用值、斜率和凹凸性来确定 $e^x$ 在 $x=0$ 处的二次近似？