划分后如何计算第一个矩形的面积？

适用条件

• 区间 $[1, 2]$ 被划分为 $n$ 个相等的子区间。
• 高度在子区间的右端点处求值。

理解与推导

1. 识别第一个子区间的宽度，即 $\frac{1}{n}$。
2. 确定第一个子区间右端点的 x 坐标：$x = 1 + \frac{1}{n}$。
3. 在该 x 坐标处评估函数 $y = \frac{1}{x}$ 以找到高度：$\frac{1}{1 + \frac{1}{n}}$。
4. 将宽度乘以高度以获得第一个矩形的面积。

例子

视频指出：“第一个矩形的面积……它的底是 n 分之一，乘以该点的函数值……该点的 x 坐标是 1 加上 n 分之一……将该 x 坐标代入函数表达式……得到这个表达式。”显示的公式是 $\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{n}}$。

容易误解的地方

• 使用左端点而不是右端点来计算高度。
• 忘记乘以宽度 $\frac{1}{n}$，只计算了函数值。

观看对应讲解

继续追问

• 如何将其推广以求出第 k 个矩形的面积？
• 所有 n 个矩形的总面积是多少？