如何使用四个相等的区域来近似 $f(x,y)=9-x^2-y^2$ 下方的体积？

Q: 如何使用四个相等的区域来近似 $f(x,y)=9-x^2-y^2$ 下方的体积？

要近似体积，将正方形 $[-2,2] \times [-2,2]$ 划分为四个相等的子正方形，每个边长为 2，面积为 $\Delta A_k = 2^2 = 4$。在每个子正方形中选择一个样本点（例如，左下角）。在这些四个点处评估 $f(x,y)=9-x^2-y^2$，将得到的高度求和，并乘以公共面积 4。公式为 $\text{Volume} \approx [f(-2,-2)+f(0,-2)+f(-2,0)+f(0,0)] \cdot 2^2$。

要近似体积，将正方形

[-2,2] \times [-2,2]

划分为四个相等的子正方形，每个边长为 2，面积为

\Delta A_k = 2^2 = 4

。在每个子正方形中选择一个样本点（例如，左下角）。在这些四个点处评估

f(x,y)=9-x^2-y^2

，将得到的高度求和，并乘以公共面积 4。公式为

\text{Volume} \approx [f(-2,-2)+f(0,-2)+f(-2,0)+f(0,0)] \cdot 2^2

。

适用条件

底面区域是 $[-2,2] \times [-2,2]$ 。
划分由四个相等的子正方形组成。
根据特定规则（例如，左下角）选择样本点。

理解与推导

将 $[-2,2] \times [-2,2]$ 划分为四个相等的正方形 $A_1, A_2, A_3, A_4$ 。
确定每个子正方形的尺寸： $\Delta x_k = 2$ 且 $\Delta y_k = 2$ ，因此 $\Delta A_k = 4$ 。
为每个子正方形选择样本点 $(x_k,y_k)$ （例如， $(-2,-2), (0,-2), (-2,0), (0,0)$ ）。
在每个样本点处评估函数 $f(x,y)=9-x^2-y^2$ 。
将四个函数值求和。
将和乘以公共面积因子 $2^2=4$ 以获得近似体积。

例子

视频演示了这个例子：使用左下角 $(-2,-2), (0,-2), (-2,0), (0,0)$ ，函数值为 $1, 5, 5, 9$ 。和为 $1+5+5+9=20$ 。乘以面积 $2^2=4$ 得到近似体积 $80$ 。幻灯片显示：体积 $\approx [1+5+5+9]2^2 = 80$ 。

容易误解的地方

认为结果 80 是精确体积；视频强调由于只使用了四个盒子，它是一个近似值（ $\approx$ ）。
忘记将高度之和乘以子矩形的面积。
选择在子正方形之外的样本点。

观看对应讲解

YouTube用黎曼和极限定义二重积分 | 曲面下的体积

6:47 – 9:20原站看这一段 ↗

继续追问

答案依据视频资料生成并经过独立核验。若有疑问，请核对原视频或联系原作者。

如何使用四个相等的区域来近似 f(x,y)=9−x2−y2f(x,y)=9-x^2-y^2f(x,y)=9−x2−y2 下方的体积？