由部分和公式判断无穷级数的敛散性

适用条件

• 已知第 $n$ 个部分和 $S_n$ 的显式代数公式。
• 极限是在 $n \to \infty$ 时取的。

理解与推导

1. 设置部分和的极限：$S = \lim_{n \to \infty} S_n$。
2. 将给定的 $S_n$ 公式代入极限表达式中。
3. 使用代数技巧（如比较分子和分母的次数）来评估极限。
4. 根据结果对级数进行分类：有限极限意味着收敛，无穷极限意味着发散。

例子

给定 $S_n = \frac{2n^3}{(n+1)(n+2)}$，当 $n \to \infty$ 时极限为 $\infty$，因为分子的次数（3）大于分母的次数（2）。因此，该级数发散。

容易误解的地方

• 认为 $S_n$ 的公式已经是无穷级数的值。
• 认为只有当级数的各项 $a_n$ 不趋于零时，级数才发散。

观看对应讲解

继续追问

• 如何评估分子次数高于分母次数的有理函数在无穷远处的极限？
• 部分和 $S_n$ 与无穷级数 $S$ 有什么区别？
• 为什么当部分和的极限为无穷大时级数发散？