如何通过将其解释为半圆的面积来几何地计算定积分 $\int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2}\,dx$？

适用条件

• 被积函数是 $\sqrt{9-x^2}$，积分限是 -3 和 3。
• 平方根表示主（非负）根，将图像限制在 $y \ge 0$。
• 函数在闭区间 $[-3, 3]$ 上连续且非负，确保定积分等于曲线下方的普通面积。

理解与推导

1. 将被积函数识别为函数 $y = \sqrt{9-x^2}$。
2. 两边平方得到 $y^2 = 9 - x^2$，并重新排列成标准圆方程 $x^2 + y^2 = 9$。
3. 认识到 $x^2 + y^2 = 9$ 描述了一个以原点为中心、半径 $r = 3$ 的完整圆。
4. 应用主平方根条件 $y \ge 0$ 推断出图像严格来说是上半圆。
5. 将定积分 $\int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2}\,dx$ 解释为由上半圆和 x 轴围成的区域的几何面积。
6. 使用公式 $A = \pi r^2 = \pi(3)^2 = 9\pi$ 计算完整圆的面积。
7. 将完整圆的面积减半以求得上半圆的面积：$\frac{9\pi}{2}$。
8. 得出定积分的精确值为 $\frac{9\pi}{2}$ 的结论。

例子

视频通过绘制坐标轴，画出从 $(-3,0)$ 经过 $(0,3)$ 到 $(3,0)$ 的粉色上半圆，并将区域涂成绿色来演示这一点。然后，主讲人写出完整圆的面积为 $\pi 3^2 = 9\pi$，并将其除以 2 得到 $\frac{9\pi}{2}$，将其框起来作为积分的最终答案。

容易误解的地方

• 假设由于代数推导得出 $x^2 + y^2 = 9$，所以 $y = \sqrt{9-x^2}$ 的图像是整个圆。实际上它严格来说是上半圆，因为主平方根只产生非负的 $y$ 值。
• 相信计算定积分总是需要使用微积分技术寻找原函数。可识别的图像可以从几何上简化积分。
• 假设 $\sqrt{9-x^2}$ 可以对所有实数 $x$ 求值。在实数范围内，被开方数必须非负，因此该函数仅在 $[-3, 3]$ 上有定义。

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相关概念

继续追问

• 为什么 $\sqrt{9-x^2}$ 只给出圆的上半部分而不是整个圆？
• $y=\sqrt{9-x^2}$ 的实数域是什么，为什么？
• 如何使用几何方法而不是求原函数来计算这个定积分？

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