分子次数高于分母次数的有理函数在无穷远处的极限

适用条件

• 函数是两个多项式的商。
• 分子的次数大于分母的次数。
• 变量趋于无穷大。

理解与推导

1. 识别分子和分母中变量的最高次幂。
2. 比较两个多项式的次数。
3. 得出结论：如果分子的次数更高，则极限为无穷大。

例子

对于 $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3}{n^2 + 3n + 2}$，分子的次数为 3，分母的次数为 2。因为 $3 > 2$，所以极限是 $\infty$。

容易误解的地方

• 假设不断增长的分母总是使整个分数趋于 0。
• 在比较次数之前忘记展开分母。

观看对应讲解

继续追问

• 在评估 $S_n$ 的极限时，为什么要将分子和分母除以 $n^2$？
• 如果分子和分母的次数相等会发生什么？
• 当给出部分和的公式时，如何判断无穷级数是收敛还是发散？