当质量和速度都被测量时，如何传播动能的不确定性？

适用条件

• 动能公式为 $K = \frac{1}{2}mv^2$。
• 质量 $m$ 和速度 $v$ 都带有独立的绝对不确定性 $\delta m$ 和 $\delta v$。
• 不确定性足够小，可以使用一阶线性近似。

理解与推导

1. 从动能公式 $K = \frac{1}{2}mv^2$ 开始。
2. 写出双变量平方和开根号传播公式：$\delta K = \sqrt{\left(\frac{\partial K}{\partial m}\delta m\right)^2 + \left(\frac{\partial K}{\partial v}\delta v\right)^2}$。
3. 计算对质量的偏导数：$\frac{\partial K}{\partial m} = \frac{1}{2}v^2$。
4. 计算对速度的偏导数：$\frac{\partial K}{\partial v} = mv$。
5. 将偏导数和给定的数值代入公式。
6. 计算表达式以求出最终传播的不确定性 $\delta K$。

例子

对于质量为 $10.12 \pm 0.11\,\text{kg}$ 且速度为 $2.34 \pm 0.04\,\text{m/s}$ 的情况，传播的不确定性计算为 $\delta K = \sqrt{\left(\frac{1}{2}(2.34)^2(0.11)\right)^2 + \left((10.12)(2.34)(0.04)\right)^2}$，结果为 $0.99\,\text{J}$。

容易误解的地方

• 假设不确定性只是简单相加（$\delta K = \frac{\partial K}{\partial m}\delta m + \frac{\partial K}{\partial v}\delta v$），这代表最坏情况而非独立的随机误差。
• 忘记在平方根下求和之前对各项进行平方。
• 混淆偏导数与普通导数，在求导时未能将另一个变量视为常数。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么独立的不确定性是按平方和开根号相加而不是简单相加？
• 如果只测量速度，如何传播动能的不确定性？
• 偏导数在曲面上的几何意义是什么？