如何设置定积分以求曲线 $y = x^{3/2}$ 在区间 [0, $32/9$] 上的弧长？

适用条件

• 曲线由函数 $f(x) = x^{3/2}$ 定义。
• 积分区间为 $[0, 32/9]$。
• 弧长公式 $\int_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$ 适用。

理解与推导

1. 识别给定的函数 $f(x) = x^{3/2}$ 和区间 $[0, 32/9]$。
2. 应用导数的幂法则求 $f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}$。
3. 对导数进行平方得到 $(f'(x))^2 = \frac{9}{4}x$。
4. 将 $(f'(x))^2$ 和积分限 $a=0$ 及 $b=32/9$ 代入弧长公式。
5. 写出最终的定积分 $\int_{0}^{32/9} \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} dx$。

例子

视频通过陈述函数 $y = x^{3/2}$，应用幂法则得到 $f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}$，将其平方得到 $\frac{9}{4}x$，并将这些代入公式以建立积分 $\int_{0}^{32/9} \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} dx$ 来演示这一设置过程。

容易误解的地方

• 忘记在代入弧长公式之前对导数进行平方。
• 错误地应用幂法则，例如未能乘以原始指数或未将其减一。
• 针对所请求的特定区间使用了错误的积分限。

观看对应讲解

继续追问

• 如何使用 u-代换计算定积分 $\int_{0}^{32/9} \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} dx$？
• 为什么在这个弧长积分中选择代换 $u = 1 + \frac{9}{4}x$？