如何使用垂直条带设置关于 y 轴的面积惯性矩积分？

适用条件

• 区域由可以表示为 $x$ 的函数的曲线界定。
• 选择了垂直微元条带，意味着其宽度为 $dx$。
• 积分变量是 $x$。

理解与推导

1. 从一般定义 $I_y = \int x^2 dA$ 开始。
2. 选择一个宽度为 $dx$ 的垂直微元条带。
3. 通过在给定 $x$ 处用上边界曲线减去下边界曲线来确定条带的高度。
4. 将 $dA$ 表示为 (高度) $\times dx$。
5. 将 $dA$ 的表达式代入积分中。
6. 识别区域的最小和最大 $x$ 值以设置积分限。

例子

对于由 $y = 2x$ 和 $y = \sqrt{2} x^{1/2}$ 从 $x=0$ 到 $x=2$ 界定的示例区域，高度为 $(2x - \sqrt{2} x^{1/2})$。设置变为 $I_y = \int_0^2 x^2 (2x - \sqrt{2} x^{1/2}) dx$。注意：视频脚本显示了一个略有不同的设置 $I_y = \int_0^2 x^2 (2 - \sqrt{2} x^{1/2}) dx$，用于由 $y=2$ 和 $y=\sqrt{2}x^{1/2}$ 界定的区域，演示了相同的“高度 = 顶部 - 底部”原则。

容易误解的地方

• 忘记解边界曲线方程中的 $y$，如果它是隐式给出的（例如，$y^2 = 2x$ 必须变成 $y = \sqrt{2} x^{1/2}$）。
• 当边界更容易表示为 $x$ 的函数时，使用了水平条带（宽度 $dy$）。
• 错误地根据 y 轴而不是 x 轴设置积分限。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么关于 y 轴的面积惯性矩在积分中使用 $x^2$？
• 如何计算面积惯性矩的定积分？
• 在这个演算示例中 $I_y$ 的最终数值是多少？