如何解曲线方程 $y^2 = 2x$ 以在积分设置中使用 y？

适用条件

• 边界曲线给定为 $y^2 = 2x$。
• 区域在第一象限（$x \ge 0, y \ge 0$）。
• 使用垂直条带，需要高度作为 $x$ 的函数。

理解与推导

1. 从方程 $y^2 = 2x$ 开始。
2. 对两边开平方：$y = \pm\sqrt{2x}$。
3. 简化根式：$y = \pm\sqrt{2} \sqrt{x} = \pm\sqrt{2} x^{1/2}$。
4. 根据区域的位置确定正确的符号。对于第一象限，$y$ 是正的。
5. 选择正根：$y = \sqrt{2} x^{1/2}$。
6. 在微元面积元素 $dA$ 的高度计算中使用这个 $y$ 的表达式。

例子

讲师说：“如果那个方程只是解出 y 而不是 y 平方……y 等于根号 2 乘以 x 的二分之一次方。”这个解出的方程随后被代入被积函数中。

容易误解的地方

• 试图直接使用 $y^2 = 2x$ 而不隔离 $y$，使得难以纯粹用 $x$ 表示条带高度。
• 忘记考虑定义域并在区域位于第一象限时选择负根。
• 错误地将 $\sqrt{2x}$ 简化为 $2\sqrt{x}$ 而不是 $\sqrt{2}x^{1/2}$。

观看对应讲解

继续追问

• 如何使用垂直条带设置关于 y 轴的面积惯性矩积分？
• 为什么关于 y 轴的面积惯性矩在积分中使用 $x^2$？
• 在这个演算示例中 $I_y$ 的最终数值是多少？