如何通过测试更大的索引（$N=20$ 对比 $N=5$）来演示 $a_n=(-1)^n$ 不收敛于 $L=1$？

适用条件

• 候选极限 $L=1$。
• 容差 $\varepsilon=0.5$（带宽 1.0）。
• 序列项 $a_n = (-1)^n$。

理解与推导

1. 定义 $L=1$ 且 $\varepsilon=0.5$ 的 epsilon 邻域：区间 $(0.5, 1.5)$。
2. 测试 $N=5$：检查 $n>5$ 的项。奇数项（如 $n=7, 9$）为 $-1$，落在带外。
3. 将 $N$ 增加到 20 以排除早期波动的影响。
4. 检查 $n>20$ 的项。像 $n=21, 23$ 这样的项仍然是 $-1$。
5. 观察到违规情况无限期持续，证明“最终”条件失败。

例子

在 $N=20$ 时，脚本突出了 $n=21, 23$ 的橙色圆圈。这些点仍然远低于靠近 1 的目标带，表明在图上向右移动并不能解决邻近性问题。

容易误解的地方

• 认为如果项最初失败，后来可能会成功。
• 在选择 N 时忽略了序列的交替性质。

观看对应讲解

继续追问

• 如果我们选择一个更小的 epsilon 会发生什么？
• 这种方法适用于收敛序列吗？