选择积分有符号速度与绝对速度如何区分净位移与总路径长度？

适用条件

• 运动发生在 1D 线上
• 速度 $v(t)$ 改变符号

理解与推导

1. 将速度 $v(t)$ 定义为位置的变化率，带有指示方向的符号。
2. 计算定积分 $\int_{t_0}^{t_1} v(t) dt$。正面积抵消负面积。
3. 将结果解释为末位置减去初位置（位移）。
4. 计算定积分 $\int_{t_0}^{t_1} |v(t)| dt$。所有面积均视为正值。
5. 将结果解释为所经过的所有线段长度之和（总距离）。

例子

脚本指出：“对有符号速度积分给出净位移，而对其绝对值积分给出行驶的总距离。”

容易误解的地方

• 假设位移和距离总是相等的。
• 认为速度的积分为零意味着没有发生移动（它可能意味着回到了起点）。

观看对应讲解

继续追问

• 在什么情况下位移为零但距离很大？
• 这一概念如何扩展到更高维度的向量值函数？