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标量乘法如何影响向量的坐标和方向？

标量乘法将向量的每个坐标按标量值进行缩放。如果标量为正，则非零向量的方向保持不变。如果标量为负，则方向反转。如果标量为零，则结果为零向量，它没有方向。

适用条件

  • k 是实标量。
  • 分量公式适用于每个实标量。
  • 方向保持/反转适用于非零向量。

理解与推导

  1. 将第一个坐标乘以标量 k。
  2. 将第二个坐标乘以标量 k。
  3. 根据 k 的符号观察新的大小和方向。

例子

2×[20]=[40]2 \times \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \end{bmatrix}。因为 2 是正数，所以方向保持不变。

容易误解的地方

  • 认为标量乘法会改变任何非零标量的方向。
  • 认为零向量有方向。
  • 将标量加到坐标上而不是乘以坐标。

观看对应讲解

3:11 – 3:29原站看这一段 ↗

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