测试替代极限 $L=-1$ 如何揭示 $a_n=(-1)^n$ 中偶数索引项的不收敛？

适用条件

• 候选极限 $L=-1$。
• 容差 $\varepsilon=0.5$。
• 序列 $a_n = (-1)^n$。

理解与推导

1. 将中心线设在 $L=-1$，绿色带宽 $2\varepsilon=1.0$。
2. 识别偶数索引（$n=2, 4, \dots$），此时 $a_n = 1$。
3. 检查相对于带 $(-1.5, -0.5)$ 的位置。
4. 观察到 $1 > -0.5$，因此偶数项在外面。
5. 对大 $N$（例如 $N=25$）进行验证：像 $n=26, 28$ 这样的项仍停留在 1，拒绝进入邻域。

例子

脚本指出：“尝试更大的 $N=25$，像 $n=26$, 28 这样的项仍然高悬，拒绝进入 -1 的邻域。”这反映了在 $L=1$ 处看到的失败，但针对的是相反的次序列。

容易误解的地方

• 假设因为奇数项符合 $L=-1$，所以整个序列收敛。
• 忽视偶数项对整体行为的贡献。

观看对应讲解

继续追问

• 一个序列可以有两个不同的子序列极限吗？
• 这对极限的唯一性意味着什么？