交错级数判别法如何估计截断误差？

在跳跃间断点处，傅里叶级数趋近于单侧极限的中点。对于指定的方波，左极限为 $-1$，右极限为 $1$，因此级数在跳跃点处收敛于 $0$。

适用条件：该点是跳跃间断点。；单侧极限存在且有限。

根据视频中的文本注释，第 $n$ 个调和数 $H_n$ 可以用 $n$ 的自然对数加上欧拉-马斯刻若尼常数 $\gamma$ 来近似。提供的具体公式是 $H_n \approx \ln(n) + \gamma$。

适用条件：分析 $H_n$ 的极限行为；大 $n$

非零正弦系数出现在奇数频率处，由公式 $4/[\pi(2k+1)]$ 给出。这些系数严格为正且不交替变号，这意味着每个奇次谐波都对逼近方波的平坦部分起建设性作用。

适用条件：函数是指定的 $2\pi$-周期方波。；系数由 $k \ge 0$ 索引，对应频率 $2k+1$。

交错级数判别法提供了收敛的充分条件：通项的绝对值必须单调递减，且通项本身必须趋于零。如果满足这些条件，则级数收敛。

适用条件：级数是交错级数。；各项的绝对值是非负的。；绝对值序列是单调递减的。；当 n 趋于无穷大时，通项的极限为零。

交错调和级数的部分和在极限 $\ln(2)$ 周围振荡。奇数部分和从一侧接近极限，偶数部分和从另一侧接近极限，随着每一项的增加，它们越来越接近极限。

适用条件：级数是交错调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n}$。；级数的极限是 $\ln(2)$。