二项分布的概率质量函数如何计算 n 次独立试验中恰好 k 次成功的概率？

二项分布的概率质量函数通过将包含 k 次成功和 n-k 次失败的单一特定序列的概率，乘以排列这些成功的可能方式的数量，来计算恰好 k 次成功的概率。公式为

Pr(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}

。

适用条件

随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布。
k 是满足 $0 \le k \le n$ 的整数。
试验相互独立且具有恒定的成功概率 p。

理解与推导

计算包含 k 次成功和 n-k 次失败的单一固定序列的概率，即 $p^k(1-p)^{n-k}$ 。
确定在 n 次试验中选择 k 次成功位置的不同方式的数量，用二项式系数 $\binom{n}{k}$ 表示。
将单一序列的概率乘以排列数量，得到恰好 k 次成功的总概率。

例子

对于 82 场比赛的赛季，获胜概率为 70%，恰好赢 60 场的概率表示为 $Pr(X=60)=\binom{82}{60}(0.7)^{60}(0.3)^{22}$ 。视频解释说：“因子 $p^k(1-p)^{n-k}$ 给出了一个固定的胜负序列的概率……因子 $\binom{n}{k}$ 计算了从 82 场比赛中选出 60 个获胜位置的方法数。”

容易误解的地方

认为 $p^k(1-p)^{n-k}$ 本身就代表了 k 次成功的总概率，忽略了不同可能的序列。
将二项式系数与单一序列的概率混淆。

观看对应讲解

YouTube七分钟理解常见概率分布｜Kai博士

2:01 – 2:34原站看这一段 ↗

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