方向导数如何将偏导数从坐标轴推广到任意向量方向？

适用条件

• 函数是二元标量值函数。
• 偏导数沿坐标轴定义。
• 方向导数使用任意向量方向。

理解与推导

1. 从偏导数作为水平或垂直偏移开始。
2. 在输入平面中引入一个任意方向向量。
3. 用小标量 h 缩放方向向量。
4. 取 h 趋于 0 的极限。
5. 将产生的输出变化与无穷小输入位移进行比较。

例子

方向导数不是只向右（x 方向）或只向上（y 方向）移动，而是考虑向左 1 向上 2 的移动，由向量 [-1, 2] 表示。

容易误解的地方

• 认为方向导数是一个与偏导数无关的全新概念。
• 认为方向向量必须是单位向量才能进行推广。

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继续追问

• 沿方向 $w=(a,b)$ 的方向导数公式是什么？
• 为什么在定义方向导数时使用 $h*v$ 而不是 v？
• 如何利用偏导数计算方向导数？