指定初始值 $A(0)=0$ 如何从通解族 $x^3/3 + C$ 中选择唯一的原函数 $x^3/3$？

适用条件

• 被积函数是 $f(t) = t^2$
• 积分下限是 0
• 从零开始累积

理解与推导

1. 找到 $x^2$ 的通解原函数：$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$。
2. 定义特定的累积函数 $A(x) = \int_0^x t^2 dt$。
3. 根据定义评估 $A(0)$：从 0 到 0 的积分为 0。
4. 令通解原函数在 $x=0$ 时等于 0：$\frac{0^3}{3} + C = 0$。
5. 求解 $C$：$C=0$。
6. 写出最终的特定函数：$A(x) = \frac{x^3}{3}$。

例子

脚本总结道：“原函数可能相差一个常数。对于从零开始的 x² 累积，$A(0)=0$ 从族 x³/3+C 中选择了 $A(x)=x$³/3。”

容易误解的地方

• 假设 $\int x^2 dx$ 自动等于 $x^3/3$ 而不考虑常数。
• 混淆不定积分记号与定累积函数。

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继续追问

• 如果下限是 $a \neq 0$，函数会是什么？
• 这如何说明微积分基本定理两部分之间的联系？

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