链接约束 $X_i \le C_i Y_i$ 如何强制执行开/关生产规则？

适用条件

• $X_i$ 是机器 $i$ 上的生产数量。
• $Y_i$ 是机器 $i$ 的二元激活指示符。
• $C_i$ 是机器 $i$ 的最大容量。
• 强制执行 $X_i \ge 0$。

理解与推导

1. 从约束 $X_i \le C_i Y_i$ 开始。
2. 情况 1：假设 $Y_i = 1$（机器活动）。代入得到 $X_i \le C_i \cdot 1$，即 $X_i \le C_i$。
3. 情况 2：假设 $Y_i = 0$（机器非活动）。代入得到 $X_i \le C_i \cdot 0$，即 $X_i \le 0$。
4. 应用非负性约束 $X_i \ge 0$。
5. 得出在情况 2 中，$X_i$ 必须为 0 的结论。
6. 验证约束是否正确建模了逻辑依赖关系。

例子

对于容量为 400 的机器 1，约束是 $X_1 \le 400Y_1$。如果 $Y_1=1$，$X_1 \le 400$。如果 $Y_1=0$，$X_1 \le 0$，并且由于 $X_1 \ge 0$，$X_1=0$。

容易误解的地方

• 认为 $Y_i$ 仅记录使用情况而不影响生产界限。
• 认为当 $Y_i=0$ 时 $X_i$ 可以为负。
• 假设该约束在没有 $X_i$ 的非负性条件下也能起作用。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么在固定成本问题中必须将容量约束与二元变量联系起来？
• 三机器生产示例的最优解是什么？
• 如何将链接约束重写为标准形式？