区间的嵌套关系 $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$ 如何确保左端点序列 $\{a_n\}$ 是单调且有界的？

适用条件

• 闭区间序列满足对所有 $n$ 有 $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$。

理解与推导

1. 识别实数轴上区间集合包含关系的几何含义。
2. 推导出内部区间的下界必须大于或等于外部区间的下界：$a_n \le a_{n+1}$。
3. 将此认定为单调递增序列的定义。
4. 观察到由于后续每个区间都在前一个区间之内，$a_n$ 永远不会超过初始区间的上界 $b_1$。
5. 得出结论：$\{a_n\}$ 是单调递增且以上界为界的。

例子

如果 $[a_2, b_2] = [0.5, 0.8]$ 位于 $[a_1, b_1] = [0, 1]$ 内部，那么 $a_2=0.5 \ge a_1=0$（递增）且 $a_2=0.5 \le b_1=1$（有上界）。

容易误解的地方

• 认为嵌套意味着严格递增（$a_n < a_{n+1}$）；弱不等式（$\le$）对于收敛证明已经足够。
• 混淆界限；虽然知道 $a_n$ 以下界 $a_1$ 为界是正确的，但这与单调收敛原理无关，后者要求递增序列必须有上界。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么上界具体是 $b_1$ 而不是其他值？
• 同样的逻辑适用于右端点序列 $\{b_n\}$ 吗？