求和法则如何从堆叠输出高度中推导出来？

适用条件

• 函数 $f$ 和 $g$ 是可导的。
• 输入增量对两个函数是共同的。

理解与推导

1. 将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 表示为堆叠的垂直线段。
2. 应用微小的输入变化 $dx$。
3. 观察到总高度的变化是 $\Delta f + \Delta g$。
4. 除以 $dx$ 得到平均变化率：$\frac{\Delta f}{dx} + \frac{\Delta g}{dx}$。
5. 取 $dx \to 0$ 的极限。
6. 得出 $(f+g)' = f' + g'$。

例子

对于 $\sin x + x^2$，导数是 $\cos x + 2x$。正弦部分的变化和平方部分的变化直接相加。

容易误解的地方

• 混淆求和法则与随机变量的统计独立性。
• 认为求和法则要求函数为正；它对有符号值也成立。
• 相信和的导数是导数的乘积。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么求和法则被认为是代数线性？
• 求和法则的几何可视化与乘积法则有何不同？
• 根据求和法则，$\sin x + x^2$ 的导数是什么？