如何从两个事件的共享交集推导贝叶斯公式？

从等式 $P(A)P$(B|A) = $P(B)P$(A|B) 出发，你可以通过除以相应的边缘概率来解出任何一个条件概率。两边除以 $P(B)$ 可分离出 P(A|B)，得到 P(A|B) = $P(A)P$(B|A)/P(B)。

适用条件：此处使用的普通条件概率要求 A 和 B 都具有正概率。；代数重排要求分母 $P(B)$ 和 $P(A)$ 非零。

贝叶斯定理中的分母 $P(B)$ 代表证据（事件 B）的总概率。在筛查测试的背景下，阳性结果可能来自两个互斥的场景：真阳性（人患病且检测呈阳性）或假阳性（人未患病但检测呈阳性）。

适用条件：证据事件 B 可以通过多条互斥路径发生。；全概率定律适用。

贝叶斯定理是通过使用条件概率的定义以两种不同方式表达相同的交集 $P(A \cap B)$ 推导出来的。首先，$P(A \mid B) = P(A \cap B) / P(B)$ 意味着 $P(A \cap B) = P(A \mid B)P(B)$。

适用条件：事件 A 和 B 具有正概率（$P(A) > 0, P(B) > 0$）。；条件概率的定义适用。

阳性预测值，即在给定阳性检测结果时患病的概率（$P(D \mid +)$），是通过将真阳性的概率除以阳性结果的总概率来计算的。阳性结果的总概率包括真阳性和假阳性。

适用条件：患病率 $P(D) = 0.12$。；灵敏度 $P(+ \mid D) = 0.95$。；假阳性率 $P(+ \mid D^c) = 0.06$。；疾病状态的事件是互斥且穷尽的。

概率是 $1/3$。这是使用贝叶斯定理计算的，其中事件 $A$ 是“两个女孩”，事件 $B$ 是“至少有一个女孩”。

适用条件：四个等可能的有序结果：GG, GB, BG, BB。；事件 A：两个女孩。；事件 B：至少有一个女孩。