如何从特征向量定义 Av = λv 推导出特征方程 det(A - λI) = 0？

适用条件

• $v$ 是非零特征向量
• $A$ 是方阵
• $I$ 是单位矩阵

理解与推导

1. 从定义开始：$Av = \lambda v$。
2. 将 $\lambda v$ 重写为 $(\lambda I)v$。
3. 两边减去 $(\lambda I)v$：$Av - (\lambda I)v = 0$。
4. 提取公因式 $v$：$(A - \lambda I)v = 0$。
5. 论证为了使非零的 $v$ 满足这个齐次系统，矩阵 $(A - \lambda I)$ 必须是奇异的。
6. 得出结论：奇异性意味着 $\det(A - \lambda I) = 0$。

例子

对于矩阵 [[3, 1], [0, 2]]，构造 $(A - \lambda I)$ 得到 [[3-λ, 1], [0, 2-λ]]。行列式为 $(3-\lambda)(2-\lambda) - 0 = 0$，得出特征值 3 和 2。

容易误解的地方

• 假设 $\det(A) = \lambda \det(I)$ 允许直接求解而不必形成移位矩阵。
• 忘记 $v$ 必须是非零的，这强制了行列式条件。

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继续追问

• 如果 det(A - λI) 不为零，这在几何上意味着什么？
• 特征多项式的复数根与旋转矩阵有什么关系？

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