在总试验次数约定下，负二项式分布的概率质量函数是如何推导的？

适用条件

• 试验是独立的。
• 成功概率 p 是恒定的。
• $x \ge r$。

理解与推导

1. 要求最后一次试验（第 x 次）成功。
2. 要求在前 $x-1$ 次试验中恰好有 $r-1$ 次成功。
3. 使用组合数计算在 $x-1$ 次试验中选择 $r-1$ 次成功位置的方法数。
4. 乘以 r 次成功和 $x-r$ 次失败的概率。

例子

公式为 $C(x-1, r-1)p^r(1-p)^{x-r}$，其中 x 为大于等于 r 的整数。

容易误解的地方

• 忘记最后一次试验必须是成功的。
• 使用 $C(x, r)$ 而不是 $C(x-1, r-1)$。

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继续追问

• 这个分布的均值是多少？
• 仅失败次数约定有何不同？