如何使用切片法计算由 $z=x^2+y^2$ 和 $z=4$ 围成的立体区域上 $(x^2+y^2)$ 的三重积分？

适用条件

• 立体区域 $\Omega$ 下方由抛物面 $z=x^2+y^2$ 界定，上方由平面 $z=4$ 界定。
• 被积函数为 $f(x,y,z) = x^2+y^2$。
• 积分顺序为 $dx\,dy\,dz$（切片法）。

理解与推导

1. 确定外层积分的界限：$z$ 的范围是从 $0$ 到 $4$。
2. 对于固定的 $z$，截面 $D(z)$ 是由 $x^2+y^2 \le z$ 定义的圆盘。
3. 将 $D(z)$ 上的内层二重积分转换为极坐标：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$。
4. 代入 $x^2+y^2 = r^2$ 和面积元素 $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$。
5. 设置极坐标限：$\theta$ 的范围是从 $0$ 到 $2\pi$，$r$ 的范围是从 $0$ 到 $\sqrt{z}$。
6. 评估内层积分：$\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{z}} r^2 \cdot r \, dr = 2\pi \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{\sqrt{z}} = \frac{\pi}{2} z^2$。
7. 评估外层积分：$\int_0^4 \frac{\pi}{2} z^2 \, dz = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{z^3}{3} \right]_0^4 = \frac{32\pi}{3}$。

例子

脚本指出：“外层积分从 $z=0$ 到 $z=4$。对于圆盘 $D(z)$ 上的内层二重积分，使用极坐标，角度从 $0$ 到 $2\pi$，半径 $r$ 从 $0$ 到 $\sqrt{z}$。代入 $x^2+y^2=r^2$ 和雅可比 $r$，被积函数变为 $r^3$。评估后得到 $\frac{1}{4}z^2$，沿 $z$ 积分后得出最终答案 $\frac{32\pi}{3}$。”

容易误解的地方

• 假设截面的半径是恒定的；它依赖于 $z$，即 $r=\sqrt{z}$。
• 转换为极坐标时忘记雅可比因子 $r$。
• 先对 $z$ 积分，这需要不同的设置（柱壳法或投影到 xy 平面）。

观看对应讲解

相关概念

继续追问

• 为什么对于这个特定的被积函数，切片法优于投影到 xy 平面？
• 如果被积函数仅为 $1$（计算体积），积分会有什么变化？
• 截面 $D(z)$ 的几何解释是什么？

相关问题