二重积分的体积解释在什么条件下成立，它如何扩展到带符号的函数？

当函数 f(x,y) 在区域 D 上非负（f ≥ 0）时，体积解释严格成立，代表 xy 平面上方立体的物理体积。然而，在适当的可积条件下，累次积分恒等式也适用于带符号的函数（即 f 可以为负）。这种扩展的一个充分设定是 f 在具有连续、有序边界曲线的紧致区域上连续。

当函数

f(x,y)

在区域 D 上非负（

f \ge 0

）时，体积解释严格成立，代表 xy 平面上方立体的物理体积。然而，在适当的可积条件下，累次积分恒等式也适用于带符号的函数（即 f 可以为负）。这种扩展的一个充分设定是 f 在具有连续、有序边界曲线的紧致区域上连续。

适用条件

检查 $f(x,y)$ 是否非负。如果是，二重积分等于几何体积。
如果 $f(x,y)$ 取负值，将积分解释为有符号的累积（净体积）。
验证可积条件，例如在紧致区域上的连续性，以确保累次积分公式仍然有效。
应用公式 $\iint _D f(x,y) dx dy = \int _a^b$ ( $\int$ _{φ₁(x)}^{φ₂(x)} $f(x,y) dy$ ) dx，无论符号如何，只要可积性成立。

脚本指出：“体积解释假设 $f\ge 0$ 。在适当的可积条件下，累次积分恒等式也适用于带符号的函数；在这个具有连续、有序边界曲线的紧致区域上的连续性是一个充分的设定。”