芝诺悖论解析中空间和时间总和的显式公式是什么？

Q: 芝诺悖论解析中空间和时间总和的显式公式是什么？

总距离形成一个从第一次冲刺开始的无穷几何级数：$s_{\text{total}} = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$。总时间产生另一个收敛级数：$t_{\text{total}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$。

总距离形成一个从第一次冲刺开始的无穷几何级数：

s_{\text{total}} = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots

。总时间产生另一个收敛级数：

t_{\text{total}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots

。

适用条件

初始速度 $v_A = 2, v_T = 1$
追逐过程的无限细分

理解与推导

将累积的空间需求识别为阿基里斯遍历的所有区间之和。
写出空间的级数： $2 + 1 + 1/2 + 1/4 + \dots$
识别遍历每个区间所需的时间持续时间序列。
写出时间的级数： $1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \dots$

例子

动画将无尽的步骤聚合成显示在底部的两个求和公式： $s_{\text{total}} = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$ 和 $t_{\text{total}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ 。

容易误解的地方

假设时间级数像距离级数那样从 2 开始；它从 1 开始，因为第一个区间耗时 1 个单位。
认为级数是发散的；它们被明确描述为收敛的。

观看对应讲解

哔哩哔哩芝诺悖论

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