图表中显示的 $\cos (x)$ 在 $a=0$ 处的一阶和二阶泰勒多项式近似是什么？

适用条件

• 函数是 $\cos (x)$
• 中心是 $a=0$

理解与推导

1. 在图表上识别一阶近似，即标记为 1 的黄色水平线。
2. 在图表上识别二阶近似，即标记为 $1-x^2/2$ 的紫色抛物线。
3. 观察到这两个近似都以 $x=0$ 为中心，并在原点附近紧密贴合蓝色的 $\cos (x)$ 曲线。
4. 注意二次近似捕捉到了余弦函数在其峰值处的向下曲率。

例子

图表以蓝色显示 $\cos (x)$，一条标记为 1 的黄色水平线，以及一条标记为 $1-x^2/2$ 的紫色抛物线。演讲者将这些识别为余弦函数关于 $a=0$ 的一阶和二阶泰勒多项式近似。

容易误解的地方

• 假设一阶近似是一条倾斜的切线，而对于 $x=0$ 处的 $\cos (x)$，切线是完全水平的。
• 认为二次近似 $1-x^2/2$ 是 $\cos (x)$ 的全局替代品，而视频明确显示它在远离 $x=0$ 时会发散。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么泰勒多项式近似被认为是局部的而不是全局的？
• 当中心从 0 变为 pi 时，$\cos (x)$ 的泰勒近似会发生什么？