在二重积分的定义中，划分范数 $\|P\| \to 0$ 是什么意思？

适用条件

• 适用于通过二重黎曼和定义体积的极限步骤。
• $P$ 代表矩形区域的划分。

理解与推导

1. 将 $\|P\|$ 识别为划分的范数或网格尺寸。
2. 将 $\|P\| \to 0$ 解释为最大子矩形的面积趋于零。
3. 推断出如果最大的部分收缩到零，所有较小的部分也必须收缩到零。
4. 得出结论：子矩形的数量必须增加到无穷大以覆盖相同的固定区域。

例子

演讲者口头解释说：“当 P 的长度趋于零时，最大的矩形面积趋于零，所有其他矩形也趋于零，并且矩形的数量趋于无穷大。”黑板上的绿色注释指向 $\|P\| \to 0$ 并写着“最大矩形面积趋于零”。

容易误解的地方

• 认为 $\|P\| \to 0$ 指的是某一个特定矩形收缩而其他矩形保持不变。
• 认为随着划分变细，矩形的数量会减少。
• 将划分范数与特定子矩形的索引 $k$ 混淆。

观看对应讲解

继续追问

• 如何使用二重黎曼和定义矩形区域上曲面下的体积？
• 为什么样本点 $(x_k,y_k)$ 的确切选择不影响最终体积？
• 无穷小底面积 $\Delta A_k$ 在体积元素中的几何作用是什么？