当中心从 0 变为 pi 时，$\cos (x)$ 的泰勒近似会发生什么？

适用条件

• 函数是 $\cos (x)$
• 中心是 a=pi

理解与推导

1. 识别以 0 为中心的原始二次近似：$1-x^2/2$。
2. 观察动画将展开点从 $x=0$ 移动到 x=pi。
3. 识别以 pi 为中心的新二次近似：-1+(x-pi)^$2/2$。
4. 注意多项式与 $\cos (x)$ 曲线之间紧密匹配的区域从 0 附近移动到 pi 附近。
5. 得出改变中心点会改变泰勒多项式本身并重新定位近似有效的区域的结论。

例子

在演讲者说将中心移动到 a=pi 后，图表更新了。新的二次标签显示为 -1+(x-pi)^$2/2$。演讲者说该多项式中有一个 (x-pi)^2，并且以 pi 为中心，并且在 a=pi 的值附近它非常好。

容易误解的地方

• 认为无论选择的中心如何，泰勒多项式都保持不变。
• 假设在中心移动到 x=pi 后，近似在 $x=0$ 附近仍然准确。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么泰勒多项式近似被认为是局部的而不是全局的？
• 以 0 为中心的麦克劳林级数的系数公式是什么？