以 0 为中心的麦克劳林级数的系数公式是什么？

适用条件

• 级数围绕 $x=0$ 展开。
• 为了使显示的公式有意义，函数在 0 处必须具有直到 n 阶的导数。
• 假设函数具有幂级数表示。

理解与推导

1. 从幂级数 $f(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2$ + ... + c_nx^n + ... 开始。
2. 对级数逐项求导 n 次，得到 $f^{(n)}(x) = n$! * $c_n$ + ...
3. 将 $x=0$ 代入 n 阶导数公式。所有包含 x 的项都消失，剩下 $f^{(n)}(0) = n$! * $c_n$。
4. 两边除以 n! 解出 $c_n$，得到 $c_n = f^{(n)}(0) / n$!。

例子

在将 $x=0$ 代入导数层级后，黑板上写下了 $c_n = f^{(n)}(0) / n$!。演讲者说，通常 $c_n$ 是通过求 n 阶导数并除以 n! 来平衡表达式而获得的。

容易误解的地方

• 忘记除以 n!，这会错误地将 $c_n$ 设为等于 n 阶导数本身。
• 认为该公式适用于以任意点 a 为中心的级数，而没有在导数求值中将 0 替换为 a。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么幂级数的 n 阶导数会在 $c_n$ 前面产生 n! 因子？
• 麦克劳林级数和泰勒级数有什么区别？