由 $y=1/x$ 在 [1,2] 上界定的曲边梯形的最终面积是多少？

适用条件

• 曲线是 $y = \frac{1}{x}$。
• 区间是 $[1, 2]$。
• 面积定义为黎曼和的极限。

理解与推导

1. 将黎曼和表示为两个调和级数之差。
2. 应用渐近展开得到 $(\ln 2n + \gamma + \sigma_{2n}) - (\ln n + \gamma + \sigma_n)$。
3. 抵消 $\gamma$ 并将 $\ln 2n - \ln n$ 简化为 $\ln 2$。
4. 取 $n \to \infty$ 时的极限，注意到 $\sigma_{2n} \to 0$ 且 $\sigma_n \to 0$。
5. 得出面积为 $\ln 2 + 0 - 0 = \ln 2$。

例子

视频总结道：“因此，曲边梯形面积的最终结果是 $\ln 2$。”

容易误解的地方

• 认为面积是 $\ln n$ 或在最终答案中依赖于 $n$。
• 忘记余项 $\sigma_n$ 在极限中消失。

观看对应讲解

继续追问

• 这与 $1/x$ 的定积分有什么关系？
• ln 2 的数值是多少？