在这个演算示例中 $I_y$ 的最终数值是多少？

适用条件

• 区域由 $y = 2$（顶部）和 $y = \sqrt{2} x^{1/2}$（底部）从 $x=0$ 到 $x=2$ 界定。
• 轴是形心 y 轴。
• 单位为米。

理解与推导

1. 设置定积分 $I_y = \int_0^2 x^2 (2 - \sqrt{2} x^{1/2}) dx$。
2. 将被积函数展开为 $2x^2 - \sqrt{2} x^{5/2}$。
3. 求原函数：$\frac{2x^3}{3} - \sqrt{2} \frac{2}{7} x^{7/2}$。
4. 在上限 $x=2$ 处求值：$\frac{2(2)^3}{3} - \sqrt{2} \frac{2}{7} (2)^{7/2} = \frac{16}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{7} 2^{3.5}$。
5. 计算数值：$\frac{16}{3} \approx 5.33333$ 且 $\frac{2\sqrt{2}}{7} 2^{3.5} \approx 4.571$。
6. 将第二项从第一项中减去：$5.33333 - 4.571 = 0.762$。
7. 附上单位 $m^4$。

例子

黑板显示了最终计算：$5.33 - 4.571 = .762 \text{ m}^4 = I_y$。讲师说：“I y 等于五点三三三三三减去答案等于零点七六二。”

容易误解的地方

• 忘记将单位 $m^4$ 附加到数值结果上。
• 在计算分数指数时犯算术错误。
• 将 $I_y$ 的值与面积或形心位置混淆。

观看对应讲解

继续追问

• 如何使用垂直条带设置关于 y 轴的面积惯性矩积分？
• 为什么面积惯性矩的单位是 $m^4$？
• 在这种设置中什么时候可以跳过平行轴定理？