函数极限的形式化 epsilon-delta 定义是什么？

适用条件

• $\epsilon$ 是任意正实数
• $\delta$ 是依赖于 $\epsilon$ 的正实数
• $x$ 在 $f$ 的定义域内且 $x \neq a$

理解与推导

1. 为输出与 $L$ 的距离选择一个任意的容差 $\epsilon > 0$。
2. 在 $a$ 周围找到一个对应的输入半径 $\delta > 0$。
3. 验证对于所有满足 $0 < |x - a| < \delta$ 的 $x$，不等式 $|f(x) - L| < \epsilon$ 成立。
4. 如果该条件对每一个可能的 $\epsilon$ 都满足，则得出 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 的结论。

例子

黑板上明确显示了蕴含关系：$0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$。演讲者将其描述为一个游戏，其中一个人给出一个 $\epsilon > 0$，另一个人必须提供一个使条件成立的 $\delta$。

容易误解的地方

• 认为 $\delta$ 是先选择的，而 $\epsilon$ 是随后的；实际上，$\epsilon$ 是先规定的，$\delta$ 是作为响应提供的。
• 认为条件 $|x - a| < \delta$ 就足够了；定义要求去心邻域 $0 < |x - a| < \delta$ 以排除点 $x = a$ 本身。
• 假设定义只需要对一个特定的 $\epsilon$ 成立；它必须对*每一个*正的 $\epsilon$ 都成立，无论多小。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么定义使用 $0 < |x - a|$ 而不是仅仅 $|x - a| < \delta$？
• epsilon-delta 定义与极限的直观概念有什么关系？
• epsilon 带和 delta 区间的几何解释是什么？