无穷小底面积 $\Delta A_k$ 在体积元素中的几何作用是什么？

适用条件

• 域被划分为子矩形。
• $\Delta x_k$ 和 $\Delta y_k$ 是第 $k$ 个子矩形的边长。

理解与推导

1. 识别域划分中的第 $k$ 个子矩形。
2. 将其面积计算为其边长的乘积：$\Delta A_k = \Delta x_k \Delta y_k$。
3. 将此面积识别为立于其上的垂直盒子的底面。
4. 将此底面积乘以盒子高度 $f(x_k,y_k)$ 以获得盒子体积。
5. 对这些盒子体积求和以近似曲面下的总体积。

例子

视频在二维域中隔离了一个红色矩形，并将其边标记为 $\Delta x_k$ 和 $\Delta y_k$。然后显示一个从该底面升起的三维盒子，高度为 $f(x_k,y_k)$。公式 $\Delta A_k = \Delta x_k \Delta y_k$ 在定义的第 1 步中被明确写出。

容易误解的地方

• 认为 $\Delta A_k$ 是盒子本身的体积。
• 将底面积与区域 $[a,b] \times [c,d]$ 的总面积混淆。
• 认为高度由底面积决定，而不是由样本点处的函数值决定。

观看对应讲解

继续追问

• 如何使用二重黎曼和定义矩形区域上曲面下的体积？
• 为什么必须在子矩形内选择一个点 $(x_k,y_k)$？
• 样本点 $(x_k,y_k)$ 在确定盒子高度中的几何作用是什么？