样本点 $(x_k,y_k)$ 在确定盒子高度中的几何作用是什么？

适用条件

• 域中已定义了一个子矩形。
• 在该子矩形内选择了一个点 $(x_k,y_k)$。

理解与推导

1. 识别域划分中的子矩形。
2. 在其中选择一个样本点 $(x_k,y_k)$。
3. 评估函数 $f(x_k,y_k)$ 以找到该点处的曲面高度。
4. 构造一个底面为 $\Delta A_k$、高度为 $f(x_k,y_k)$ 的垂直盒子。
5. 将盒子体积计算为 $f(x_k,y_k) \Delta x_k \Delta y_k$。

例子

视频显示了一个带有从底面矩形升起的垂直盒子的三维曲面。盒子的高度被明确标记为 $f(x_k,y_k)$，将二维样本点与三维几何体积元素联系起来。讲师说：“取该点的 f 值得到盒子的高度。”

容易误解的地方

• 认为样本点决定了盒子的底面积。
• 认为高度由子矩形的角点决定，而不是由选择的内部点决定。
• 将样本点与子矩形的质心混淆（虽然它可以是质心，但不必是）。

观看对应讲解

继续追问

• 为什么必须在子矩形内选择一个点 $(x_k,y_k)$？
• 为什么样本点 $(x_k,y_k)$ 的确切选择不影响最终体积？
• 无穷小底面积 $\Delta A_k$ 在体积元素中的几何作用是什么？