对于不同的正数，调和平均数、几何平均数和算术平均数之间的排序关系是什么？

适用条件

• 输入为正实数
• 比较 H、G 和 A 三种平均数

理解与推导

1. 回顾定义：$H = \frac{2}{1/a+1/b}$，$G = \sqrt{ab}$，$A = \frac{a+b}{2}$。
2. 观察示例值：对于40和60，$H=48$，$G \approx 48.99$，$A=50$。
3. 推广不等式链：当 $a \neq b$ 时，$H < G < A$。
4. 注意等号成立的条件：当且仅当 $a=b$ 时，$H=G=A$。

例子

在速度为40和60的旅行例子中，调和平均数为48，几何平均数为 $\sqrt{2400} \approx 48.99$，算术平均数为50。这证实了 $48 < 48.99 < 50$。

容易误解的地方

• 认为算术平均数总是比其他平均数小。
• 认为顺序取决于选择的具体数值，而不是平均数的类型。

观看对应讲解

继续追问

• 你能从代数上证明为什么 $H \le G$ 吗？
• 这些不等式对负数也成立吗？