马尔可夫链中的平稳分布是什么，为什么它对 MCMC 很重要？

适用条件

• 马尔可夫链必须达到平衡。
• $\pi$ 是概率向量，$P$ 是转移矩阵。
• 目标分布是 $\pi$。

理解与推导

1. 将平稳分布定义为 $\pi = \pi P$ 的平衡状态。
2. 观察到无论起点如何，所有链都收敛到相同的统计行为。
3. 测量每条链在不同区域花费的时间比例。
4. 验证这些时间比例与目标分布的概率相匹配。

例子

视频显示红、蓝、绿点从双峰曲线上的不同点开始，最终稳定在与峰值匹配的比例（30% 和 70%），并显示了公式 $\pi = \pi P$。

容易误解的地方

• 假设平稳分布取决于链的初始状态。
• 认为链一旦达到平稳分布就会停止移动，而不是继续在平衡点附近波动。

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