为什么 $e^x$ 的麦克劳林系数对所有 n 都等于 $1/n$!？

连续的多项式项在展开点 $x=0$ 处匹配更高阶的导数。二次项匹配二阶导数（凹凸性），三次项匹配三阶导数，依此类推。

适用条件：函数是 $f(x) = e^x$。；展开以 $x=0$ 为中心。；项从二次到四次依次添加。

局部近似在展开点 $x=0$ 附近的特写视图中最为明显。在这个区域，多项式部分和 $S_n(x)$ 紧密贴合 $e^x$ 的曲线，展示了如何在单点匹配导数会产生强烈的局部拟合。

适用条件：动画包含缩放或特写功能。；焦点在展开点 $x=0$ 的邻域。

虽然 $e^x$ 的麦克劳林级数在每个固定的实数 $x$ 处收敛，并且在每个固定的有界区间上一致收敛，但这并不意味着在整个实数线上误差都是一致小的。此外，收敛并不保证在添加每一项之后，每个点的误差都严格变小；近似质量可能会根据次数和特定的 $x$ 值在局部波动。

适用条件：函数是 $f(x) = e^x$。；级数是以 0 为中心的麦克劳林展开。；考虑逐点收敛和一致收敛的性质。

零次近似 $S_0(x)=1$ 是一个常数函数，它匹配 $e^x$ 在 $x=0$ 处的值，但不包含斜率信息。一次近似 $S_1(x)=1+x$ 添加了线性项 $x$，它匹配 $x=0$ 处的值和第一阶导数（斜率），在几何上表示曲线在展开点处的切线。

适用条件：函数是 $f(x) = e^x$。；近似以 $x=0$ 为中心。；$S_0(x)$ 是常数项近似。；$S_1(x)$ 是一次项近似。