为什么方向导数可以写成方向向量与梯度的点积？

适用条件

• 函数 $f(x,y)$ 是可微的。
• 方向向量为 $w=[a,b]$。
• 梯度 ∇f = [∂f/∂x, ∂f/∂y] 存在。

理解与推导

1. 写出方向导数的一般公式：a*(∂f/∂x) + b*(∂f/∂y)。
2. 将分量 a 和 b 识别为向量 w。
3. 将偏导数 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y 识别为梯度向量 ∇f。
4. 将乘积之和识别为点积 w·∇f。

例子

展开形式 a*(∂f/∂x) + b*(∂$f/y$) 等价于 [a,b]·[∂f/∂x, ∂f/∂y]。

容易误解的地方

• 认为点积符号只是没有数学等价性的简写。
• 混淆梯度向量与海森矩阵。

观看对应讲解

继续追问

• 点积公式如何推广到高维？
• 梯度向量的几何意义是什么？
• 为什么方向导数有这么多不同的符号？