为什么在这个弧长积分中选择 $u = 1 + 9/4x$？

适用条件

• 要计算的积分是 $\int_0^{32/9}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\,dx$。
• 被积函数在平方根下包含一个复合表达式。

理解与推导

1. 识别被积函数中平方根下的表达式，即 $1 + \frac{9}{4}x$。
2. 将代换变量 $u$ 设为等于这个表达式：$u = 1 + \frac{9}{4}x$。
3. 对 $u$ 关于 $x$ 求导以找到 $\frac{du}{dx} = \frac{9}{4}$。
4. 解出 $dx$ 得到 $dx = \frac{4}{9}du$。
5. 将 $u$ 和 $dx$ 代入原始积分，将其简化为 $\frac{4}{9}\int \sqrt{u}\,du$。

例子

讲师明确说道，“直接使用代换。所以是 u-代换，”并写出 $u = 1 + \frac{9}{4}x$，因为它正是根号下的表达式，将被积函数变成了 $\sqrt{u}$。

容易误解的地方

• 选择不简化被积函数的代换，例如仅将 $u$ 设为 $x$。
• 在代换时忘记将微分 $dx$ 更改为 $du$。
• 假设代换在不调整定积分积分限的情况下也能起作用。

观看对应讲解

继续追问

• 在定积分中使用 u-代换时，积分限如何变化？
• 这里使用的 $\sqrt{u}$ 的原函数是什么？