为什么像 $x^2$ 和 $x^2 + C$ 这样的不同函数共享相同的导数 2x？

'$+C$' 项代表积分的任意常数。它表明在一个连通区间上，给定函数的所有原函数彼此之间仅相差一个常数。

适用条件：定义域是一个连通区间。；被积函数至少有一个原函数。

$2x$ 的不定积分是 $x^2+C$。在这种语境下，“不定积分”一词只是原函数的另一个名称，代表了导数为 $2x$ 的所有函数族。

适用条件：被积表达式是 $2x$。；结果包含任意常数 $C$。

不定积分只是原函数的另一个名称。这两个术语都指代导数为给定函数的函数族，通常用任意常数 $C$ 来表示。

适用条件：语境是侧重于反向求导的微积分入门。；函数在感兴趣的区间上是连续的或可导的。

早期引入积分符号是作为原函数的简写，以避免写出繁琐的句子。其更深层的几何意义，即与曲线下方面积和矩形和的关系，将在课程后续涵盖定积分时得到说明。

适用条件：当前的重点是理解原函数。；课程稍后将涵盖定积分和曲线下方的面积。

符号 $\int 2x \, dx$ 是询问 $2x$ 关于 $x$ 的原函数的一种紧凑方式。它代表了导数为 $2x$ 的整个函数族，写作 $x^2+C$。

适用条件：积分变量是 $x$。；被积函数是 $2x$。