如果嵌套区间的长度趋近于零，为什么左端点的极限 $a$ 和右端点的极限 $b$ 会重合？

适用条件

• $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 是收敛序列，极限分别为 $a$ 和 $b$。
• 随着 $n \to \infty$，区间长度 $b_n - a_n$ 趋近于 0。

理解与推导

1. 确立由于单调性和有界性，$\lim a_n = a$ 和 $\lim b_n = b$ 存在。
2. 将区间长度表示为端点之差：$d_n = b_n - a_n$。
3. 应用收敛序列之差的极限法则：$\lim d_n = \lim b_n - \lim a_n = b - a$。
4. 利用给定条件 $\lim d_n = 0$。
5. 求解 $b - a = 0$ 得到 $a = b = \xi$。

例子

考虑区间 $[0, 1/n]$。左极限 $a=0$，右极限 $b=0$。长度 $1/n \to 0$。这里 $a=b=0$。

容易误解的地方

• 假设无论区间长度如何，$a$ 和 $b$ 总是相等的；只有当间隙缩小为零时它们才相等。
• 混淆差的极限与极限的差（尽管在此处由于收敛性是有效的）。

观看对应讲解

继续追问

• 如果区间长度趋近于正常数 $c > 0$ 会发生什么？
• 这与实数系统的完备性有什么关系？