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为什么在乘积法则的几何推导中，角落项会消失？

角落项代表两个微小变化的乘积，ΔfΔg\Delta f \Delta g。由于函数是可导的，Δf\Delta f 和 Δg\Delta g 都是 hh 的同阶量（与输入增量成正比）。因此它们的乘积是 h2h^2 的同阶量。在通过将总面积变化除以 hh 来计算导数时，角落项变为与 hh 成正比，当 h→0h \to 0 时趋于零。只有两个条带项保留下来，得出 f′g+fg′f'g + fg'。

适用条件

  • 函数 ff 和 gg 在该点可导。
  • 输入增量 hh 趋近于零。
  • 几何模型假设一个边长为 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 的矩形。

理解与推导

  1. 将面积变化可视化为两个条带和一个小角落矩形。
  2. 将精确增量表达为 gΔf+fΔg+ΔfΔgg\Delta f + f\Delta g + \Delta f\Delta g。
  3. 注意到可导性意味着 Δf≈f′h\Delta f \approx f'h 和 Δg≈g′h\Delta g \approx g'h。
  4. 将这些代入角落项：ΔfΔg≈(f′h)(g′h)=f′g′h2\Delta f \Delta g \approx (f'h)(g'h) = f'g'h^2。
  5. 将总增量除以 hh 以形成差商。
  6. 观察到角落贡献是 f′g′hf'g'h，当 h→0h \to 0 时消失。
  7. 得出导数是条带贡献之和：f′g+fg′f'g + fg'。

例子

如果 f(x)=xf(x)=x 且 g(x)=x2g(x)=x^2 在 x=1x=1 处，微小的 hh 使得 Δf≈h\Delta f \approx h 且 Δg≈2h\Delta g \approx 2h。角落面积大约是 2h22h^2。除以 hh 后是 2h2h，它趋于 0。

容易误解的地方

  • 认为角落项可以忽略是因为它在视觉上很小，而不是因为它是关于 hh 的高阶量。
  • 相信乘积法则只是导数的乘积 f′g′f'g'，这完全错过了条带项。
  • 假设几何论证对负函数值失效；即使图片使用正长度，代数对有符号值也成立。

观看对应讲解

4:11 – 5:50原站看这一段 ↗

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答案依据视频资料生成并经过独立核验。若有疑问，请核对原视频或联系原作者。