为什么当 (N-1)$β/γ$ 大于 1 时流行病开始增长？

适用条件

• 适用于爆发开始时。
• 使用单感染者初始化 $I(0)=1$。
• 假设黑板上显示的 SIR 动力学。
• 除以 $\gamma$ 隐含假设 $\gamma>0$。

理解与推导

1. 从感染者隔室方程开始：$\frac{dI}{dt}=\beta SI-\gamma I$。
2. 代入单个首个感染者的初始条件：$S=N-1$ 和 $I=1$。
3. 在初始状态下评估增长率：$\left.\frac{dI}{dt}\right|_{t=0}=\beta(N-1)-\gamma$。
4. 要求初始感染人口增加：$\beta(N-1)-\gamma>0$。
5. 重新排列以分离无量纲阈值比：$\frac{(N-1)\beta}{\gamma}>1$。

例子

黑板上写着“发生流行病的条件是：dI/dt>0”并写着“$R_0=(N-1)\beta/\gamma>1$”。讲师说，当该因子大于一时，流行病开始增长，因为产生的感染者多于被移除的感染者。

容易误解的地方

• 认为阈值是 $\frac{(N-1)\beta}{\gamma}>0$ 而不是 $>1$。
• 假设该条件适用于流行病的整个持续时间，而不仅仅是初始发作。

观看对应讲解

继续追问

• SIR 模型中的基本再生数 $R_0$ 是什么意思？
• 为什么引入 $\hat{\beta}$ 而不是在 $R_0$ 中保留整个人口因子？