为什么交叉偏导数相等不能保证涡旋场在穿孔平面上的路径无关性？

适用条件

• 向量场定义在排除原点的区域上。
• 区域是多连通的（有洞）。
• 交叉偏导数在有定义的地方相等。

理解与推导

1. 验证对于给定的场，$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。
2. 识别原点 $(0,0)$ 处的奇点。
3. 认识到区域 $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ 不是单连通的。
4. 计算连接相同端点的两条不同路径的线积分。
5. 观察到结果不同（$\pi$ 与 $-\pi$），证明路径依赖。
6. 得出结论：单连通性是定理所需的假设。

例子

沿上半圆从 (-1,0) 到 (1,0) 的积分为 $-\pi$，而下半圆为 $+\pi$。完整的逆时针环路积分为 $2\pi$。

容易误解的地方

• 认为 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ 总是意味着路径无关。
• 在应用微积分定理时忽略区域的拓扑结构。
• 认为处处旋度为零就意味着是保守场，而不检查是否有洞。

观看对应讲解

继续追问

• 路径无关定理的正确表述是什么？
• 单连通和多连通有什么区别？
• 为什么格林公式对包围原点的环路失效？