为什么连续随机变量的期望使用积分而不是求和？

视频首先将定积分回顾为曲边梯形的面积，通过分割、采样和取黎曼和的极限来构建。然后将相同的逻辑应用于期望积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$，将项 $x f(x) dx$ 解释为值 $x$ 与近似概率 $f(x)dx$（小条带的面积）的乘积，从而将期望视为连续加权平均。

适用条件：X 是连续随机变量；$f(x)$ 是概率密度函数；积分绝对收敛

对于宽度为 $\Delta x$ 的非常小的区间，随机变量落入该区间的概率近似等于区间内某点的概率密度函数值乘以宽度 $\Delta x$。这种关系 $P\{x < X \le x + \Delta x\} \approx f(x)\Delta x$ 连接了密度（单位长度的概率）与实际范围内的概率概念。

适用条件：区间宽度 $\Delta x$ 非常小；忽略高阶无穷小量；$f(x)$ 在参考点处连续

视频通过将区间内某点的概率密度 $f(x)$ 乘以区间的宽度 $\Delta x$ 来近似连续随机变量 $X$ 落入小区间 $(x, x+\Delta x]$ 的概率。这表示为 $P\{x < X \le x + \Delta x\} \approx f(x)\Delta x$，忽略了高阶无穷小量。

适用条件：区间 $(x, x+\Delta x]$ 非常小；忽略高阶无穷小量；$f(x)$ 是概率密度函数

数学期望 $E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k p_k$ 被解释为加权平均，其中随机变量的每个可能值 $x_k$ 由其概率 $p_k$ 加权。这些值与权重乘积的总和代表了随机变量可能结果的真实平均值。

适用条件：X 是离散随机变量；$x_k$ 是 X 的可能值；$p_k$ 是概率 $P(X=x_k)$；级数绝对收敛

该定义要求绝对收敛，以确保期望是一个良定义的有限实数。如果没有绝对收敛，反常积分可能会发散或依赖于求和/积分的顺序，这意味着期望值将无法唯一定义。

适用条件：X 是连续随机变量；$f(x)$ 是 X 的概率密度函数；积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$ 绝对收敛