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在推导乘积法则时，为什么高阶角项 ΔfΔg\Delta f \Delta g 在极限中消失？

该项消失是因为可微性保证了 Δf\Delta f 和 Δg\Delta g 都与输入增量 hh 成正比（即 O(h)O(h) 阶）。当除以 hh 时，乘积 ΔfΔgh\frac{\Delta f \Delta g}{h} 变为 O(h2)/h=O(h)O(h^2)/h = O(h) 阶的表达式，随着 h→0h \to 0 趋向于零。只有第一阶的条带项保留下来。

适用条件

  • 函数 ff 和 gg 在所讨论的点处是可微的
  • 输入增量 hh 趋近于零

理解与推导

  1. 识别精确的面积增量：Δ(fg)=gΔf+fΔg+ΔfΔg\Delta(fg) = g\Delta f + f\Delta g + \Delta f \Delta g。
  2. 构造差商，除以 hh：Δ(fg)h=gΔfh+fΔgh+ΔfΔgh\frac{\Delta(fg)}{h} = g\frac{\Delta f}{h} + f\frac{\Delta g}{h} + \frac{\Delta f \Delta g}{h}。
  3. 应用可微性的定义：对于小的 hh，Δf≈f′h\Delta f \approx f' h 且 Δg≈g′h\Delta g \approx g' h。
  4. 将这些近似代入角项：(f′h)(g′h)h=f′g′h\frac{(f'h)(g'h)}{h} = f'g'h。
  5. 取 h→0h \to 0 的极限：由于 f′g′f'g' 是有限的，f′g′h→0f'g'h \to 0。
  6. 得出结论：仅前两项保留，得到 (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg'。

例子

脚本在 350秒处的片段指出：“可微性使得 Δf 和 Δg 均为 h 的同阶量，因此它们的角积除以 h 趋于零。幸存的项给出 f′g+fg′f^{\prime} g+fg^{\prime}。”

容易误解的地方

  • 认为角项代表显著的误差而不是可忽略的高阶无穷小。
  • 假设该项仅仅因为相乘而消失，忽略了导数定义中必须除以 hh 的要求。

观看对应讲解

5:50 – 8:18原站看这一段 ↗

继续追问

答案依据视频资料生成并经过独立核验。若有疑问，请核对原视频或联系原作者。