为什么对路径无关定理的幼稚应用会导致矛盾？

对于连续非负函数，定积分表示由函数图像、水平轴以及区间端点处的垂直线所围成区域的精确面积。

适用条件：函数是连续的。；函数是非负的。；区间是闭区间 [a, b]。

如果 $g(t)$ 是绝对可积的（即 $\int |g(t)| dt < \infty$），则普通积分 $\int_{-\infty}^{\infty} g(t)e^{-2\pi i ft} dt$ 有良好定义。然而，无限持续的 ideale 正弦波不是绝对可积的，因为其能量分布在无限时间内。

适用条件：考虑时间窗口 $T \to \infty$ 的极限。；分析衰减瞬态信号或持续周期信号。

定积分是通过取划分数量 $n$ 趋于无穷大时黎曼和的极限得到的。当 $n \to \infty$ 时，每个子区间的宽度 $\frac{1}{n}$ 趋于零，矩形面积之和收敛于曲线下方的精确面积。

适用条件：函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是黎曼可积的。；划分是均匀的，有 $n$ 个子区间。；取 $n \to \infty$ 的极限。

可以通过认识到被积函数 $y = \sqrt{9-x^2}$ 的图像是半径为 3 的上半圆来计算定积分。因为该函数在 $[-3, 3]$ 上连续且非负，积分等于该区域的普通几何面积。

适用条件：被积函数被识别为 $x^2+y^2=9$ 的上半圆。；函数在区间 $[-3, 3]$ 上连续且非负。；使用圆的实数几何面积公式。

立体区域 $\Omega$ 定义为满足 $x^2+y^2 \le z \le 4$ 的点 $(x,y,z)$ 的集合。它下方由圆形抛物面 $z=x^2+y^2$ 界定，上方由平面 $z=4$ 界定。

适用条件：下边界是抛物面 $z=x^2+y^2$。；上边界是平面 $z=4$。；区域是有界且闭合的。