为什么以 0 为中心的 $e^x$ 泰勒级数会变成 sum $x^n/n$!？

适用条件

• $f(x)=e^x$
• 中心 $a=0$

理解与推导

1. 从泰勒系数公式 $c_n = f^{(n)}(a) / n$! 开始。
2. 特例化为示例函数和中心：$f(x) = e^x$ 且 $a = 0$。
3. 在 $x=0$ 处求 $e^x$ 的 n 阶导数。由于 $d^n/dx^n(e^x) = e^x$，其值为 $e^0 = 1$。
4. 将求得的导数代入系数公式得到 $c_n = 1 / n$!。
5. 通过将 $c_n$ 代入求和来写出最终的幂级数：$e^x$ = sum ($1/n$!) $x^n$ = sum $x^n/n$!。

例子

讲师解释了指数函数的关键简化：对 $e^x$ 求导不会改变它。因此 n 阶导数仍然是 $e^x$，在中心 0 处求值得到 $e^0=1$。黑板上简化为 $e^x$=sum_{$n=0$}^infty $x^n/n$!。

容易误解的地方

• 假设 $e^x$ 的导数会循环或改变形式，从而导致交替的符号或不同的系数。
• 忘记在除以 n! 之前在中心点 $x=0$ 处求导数的值。

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继续追问

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